Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

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2

x+b（b＞0）分別交x軸，y軸于A，B兩點，以O(shè)A，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點作等腰直角三角形PMN，點P在第一象限，設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點P的坐標．
（2）當b值由小到大變化時，求S與b的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若在直線y=-

1

2

x+b（b＞0）上存在點Q，使∠OQM等于90°，請直接寫出b的取值范圍．
（4）在b值的變化過程中，若△PCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的b值．

Answer 1

（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=

1

2

NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①當點A落在線段OM上（可與點M重合）時，如圖（一），此時0＜b≤2，S=0；
②當點A落在線段AK上（可與點K重合）時，如圖（二），此時2＜b≤3，設(shè)AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=

1

2

（2b-4）²=2b²-8b+8，


③當點A落在線段KN上（可與點N重合）時，如圖（三），此時3＜b≤4，設(shè)AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S_△PMN-S_△ANH=4-2（4-b）²=-2b²+16b-28，

④當點A落在線段MN的延長線上時，b＞4，如圖（四），S=4；


（3）以O(shè)M為直徑作圓，當直線y=-

1

2

x+b（b＞0）與圓相切時，b=

5

+1，如圖（五）；
當b≥4時，重合部分是△PMN，S=4
設(shè)Q（x，b-

1

2

x），因為∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以O(shè)Q²+QM²=OM²，
即[x²+（b-

1

2

x）²]+[（x-4）²+（b-

1

2

x）²]=4²，
整理得

5

2

x²-（2b+8）x+2b²=0，

5

4

x²-（b+4）x+b²=0，
根據(jù)題意這個方程必須有解，也就是判別式△≥0，即（b+4）²-5b²≥0，-b²+2b+4≥0，b²-2b-4≤0，可以解得 1-

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≤b≤1+

5

，由于b＞0，所以0＜b≤1+

5

．

故0＜b≤

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+1；

（4）b的值為4，5，8±2

6

．
∵點C、D的坐標分別為（2b，b），（b，b）
當PC=PD時，b=4；
當PC=CD時，b₁=2（P、C、D三點共線，舍去），b₂=5；
當PD=CD時，b=8±2

6

．