Question

在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解法1：由AB2＋AC2＞BC2，知△ABC是銳角三角形．所以△ABC的外心在其內(nèi)部．過A作AD⊥BC于D，設(shè)△ABC的外心為O，則點O必在線段AD上，如圖，連接BO，設(shè)OA＝r．則： 　　∵AB＝AC，AD⊥BC于D， 　　∴BD＝DC＝6． 　　在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝6，∴AD＝＝8．∴OD＝8－r． 　　由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2．解得r＝． 　　解法2：過A作AD⊥BC于D，并延長AD交⊙O于點E．則由解法1可知：△ABC的外心O必在AD上，從而AE是⊙O的直徑，故連接CE后，∠ACE＝． 　　在△ACD△AEC中， 　　∵∠CAD＝∠EAC，∠ADC＝∠ACE，∴△ACD∽△AEC．∴＝． 　　由解法1可知AD＝8．∴＝． 　　∴AE＝＝．∴⊙O的半徑為AE＝． 　　[剖析]本題的關(guān)鍵是確定△ABC的外接圓圓心的位置．由于銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得圓心O在底邊BC上的高AD上．然后構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理建立方程可求解．當然，解法2中可不討論圓心是在三角形的內(nèi)部、邊上還是外部，但也必須明確它是否在AD上，然后尋找相似三角形，運用成比例線段求解．

提示：

[拓展延伸] 　　(1)銳角三角形的外心在它的內(nèi)部，直角三角形的外心在它的斜邊中點上，鈍角三角形的外心在它的外部；(2)平分一條弦所對的弧的直徑，垂直平分這條弦；(3)在求圓內(nèi)接三角形中某些線段的長時，常用垂徑定理、勾股定理構(gòu)造直角三角形求解，也可通過構(gòu)造相似三角形來求解．