Question

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)x軸為直線l，函數(shù)y=-

3

x，y=

3

x的圖象分別是直線l₁，l₂，圓P（以點(diǎn)P為圓心，1為半徑）與直線l，l₁，l₂中的兩條相切．例如（

3

，1）是其中一個(gè)圓P的圓心坐標(biāo)．
（1）寫出其余滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)；
（2）在圖中標(biāo)出所有圓心，并用線段依次連接各圓心，求所得幾何圖形的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,切線長(zhǎng)定理,軸對(duì)稱圖形,特殊角的三角函數(shù)值

專題：計(jì)算題,作圖題

分析：（1）對(duì)圓P與直線l和l₂都相切、圓P與直線l和l₁都相切、圓P與直線l₁和l₂都相切三種情況分別考慮，利用切線長(zhǎng)定理和特殊角的三角函數(shù)值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）由圖可知：該幾何圖形既軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它的所有的邊都相等．只需求出其中的一條邊就可以求出它的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）①若圓P與直線l和l₂都相切，
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，連接OP，如圖1所示．

設(shè)y=

3

x的圖象與x軸的夾角為α．
當(dāng)x=1時(shí)，y=

3

．
∴tanα=

3

．
∴α=60°．
∴由切線長(zhǎng)定理得：∠POH=

1

2

×（180°-60°）=60°．
∵PH=1，
∴tan∠POH=

PH

OH

=

1

OH

=

3

．
∴OH=

3

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

3

，-1）．
同理可得：
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

3

，1）；
當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

，-1）；
②若圓P與直線l和l₁都相切，如圖2所示．

同理可得：當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

3

，1）；
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

，1）；
當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

3

，-1）；
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，-1）．
③若圓P與直線l₁和l₂都相切，如圖3所示．

同理可得：
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2 3

3

，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

2 3

3

，0）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）．
綜上所述：其余滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)有：
（

3

3

，-1）、（-

3

3

，1）、（-

3

，-1）、
（

3

3

，1）、（-

3

，1）、（-

3

3

，-1）、（

3

，-1）、
（

2 3

3

，0）、（-

2 3

3

，0）、（0，2）、（0，-2）．

（2）用線段依次連接各圓心，所得幾何圖形，如圖4所示．

由圖可知：該幾何圖形既軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，
由對(duì)稱性可得：該幾何圖形的所有的邊都相等．
∴該圖形的周長(zhǎng)=12×（

3

-

3

3

）=8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線長(zhǎng)定理、特殊角的三角函數(shù)值、對(duì)稱性等知識(shí)，考查了作圖的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的審美意識(shí)，是一道好題．