Question

如圖，已知拋物線過（1,4）與（4,-5）兩點(diǎn)，且．與一直線相交于A，C兩點(diǎn)

（1）求該拋物線解析式；

（2）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值；

Answer 1

（1）;（2）A（-1，0）C（2，3）（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;

（2）聯(lián)立方程x+1=-x2+2x+3,求解即可．

（3）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x2+2x+3）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段PQ=-x2+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值；

試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)（1，4）及C（4，-5）得，

，解得。

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

（2）當(dāng)x+1=-x2+2x+3時(shí)，解得

當(dāng)x=-1時(shí)，

當(dāng)x=2時(shí)，

所以A（-1，0）C（2，3）

（3）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3）．

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2．

∴==-（x-）2+．

∵，

∴當(dāng)x=時(shí)，△APC的面積取得最大值，最大值為．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．