已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1,2).
(1)若a=1,拋物線頂點(diǎn)為A,它與x軸交于兩點(diǎn)B,C,且△ABC為等邊三角形,求b的值;
(2)若abc=4,且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
【答案】分析:(1)將(1,2)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,聯(lián)立a=1,可得出b、c之間的關(guān)系式.如果△ABC是等邊三角形,那么倍BC的長(zhǎng)正好是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,聯(lián)立b、c的關(guān)系式可求出b的值.
(2)易知:b+c=2-a,bc=,可將b、c看做是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的兩實(shí)根,那么可根據(jù)△≥0,求得a的大致取值范圍為a≥4.由于abc=4>0,且a≥b≥c,
則說明①a、b、c均大于0,由于a≥4,如果三數(shù)均為正數(shù),顯然a+b+c>4≠2,因此不合題意.
②a正,b、c為負(fù),那么此時(shí)|a|+|b|+|c|=a-(b+c)=a-(2-a)=2a-2,根據(jù)得出的a的取值范圍,即可求出|a|+|b|+|c|的最小指.
解答:解:(1)由題意,a+b+c=2,
∵a=1,
∴b+c=1
拋物線頂點(diǎn)為A(-,c-
設(shè)B(x1,0),C(x2,0),
∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0
∴|BC|=|x1-x2|===
∵△ABC為等邊三角形,
-c=
即b2-4c=2
∵b2-4c>0,
=2,
∵c=1-b,
∴b2+4b-16=0,b=-2±2
所求b值為-2±2

(2)∵a≥b≥c,若a<0,則b<0,c<0,a+b+c<0,與a+b+c=2矛盾.
∴a>0.
∵b+c=2-a,bc=
∴b,c是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的兩實(shí)根.
∴△=(2-a)2-4×≥0,
∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4.
∵abc>0,
∴a,b,c為全大于0或一正二負(fù).
①若a,b,c均大于0,
∵a≥4,與a+b+c=2矛盾;
②若a,b,c為一正二負(fù),則a>0,b<0,c<0,
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,
∵a≥4,
故2a-2≥6
當(dāng)a=4,b=c=-1時(shí),滿足題設(shè)條件且使不等式等號(hào)成立.
故|a|+|b|+|c|的最小值為6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用及不等式的相關(guān)知識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時(shí)y1的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案