Question

2．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與x軸交于另一點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B（0，3），對(duì)稱軸是直線x=-1，頂點(diǎn)是M．
（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式：y=-x²-2x+3；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、D、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)：（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）；
（3）過(guò)原點(diǎn)的直線l平分△MBC的面積，求l的解析式．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為x=-1，所以點(diǎn)C坐標(biāo)（-3，0），設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）（x+3），把點(diǎn)B代入即可求出a．
（2）根據(jù)圖中三種情形圖1中，①當(dāng)D₁（-1，0），P₁（-2，0）時(shí)，有P₁B=CD₁，P₁B∥CD₁，所以四邊形CD₁BP₁為平行四邊形．
②當(dāng)BC∥D₂P₂，BC=P₂D₂時(shí)，四邊形BCP₂D₂是平行四邊形，設(shè)P（-1，m）則P₂（-4，m-3），把P₂的坐標(biāo)代入拋物線得到即可求出m③當(dāng)D₃P₃∥BC，D₃P₃=BC時(shí)，四邊形BCD₃P₃是平行四邊形，設(shè)D₃（-1，n），則P₃（2，n+3），把點(diǎn)P₃坐標(biāo)代入拋物線即可求出n．
（3）設(shè)直線l的解析式為y=kx，利用方程組求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，列出方程解決．

解答 解：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為x=-1，所以點(diǎn)C坐標(biāo)（-3，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）（x+3），把點(diǎn)B（0，3）代入得到a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3．
故答案為y=-x²-2x+3．
（2）圖1中，①當(dāng)D₁（-1，0），P₁（-2，0）時(shí)，
∵P₁B=CD₁，P₁B∥CD₁，
∴四邊形CD₁BP₁為平行四邊形．
②當(dāng)BC∥D₂P₂，BC=P₂D₂時(shí)，四邊形BCP₂D₂是平行四邊形，
∵BO=CO=3，
∴BC=P₂D₂=3$\sqrt{2}$，
設(shè)P（-1，m）則P₂（-4，m-3），把P₂的坐標(biāo)代入拋物線得到m-3=-16+8+3，所以m=-2，
∴D₂（-1，-2）．
③當(dāng)D₃P₃∥BC，D₃P₃=BC時(shí)，四邊形BCD₃P₃是平行四邊形，設(shè)D₃（-1，n），則P₃（2，n+3），
把點(diǎn)P₃坐標(biāo)代入拋物線得到n+3=-4-4+3，所以n=-8，
∴點(diǎn)D₃（-1，-8）．
綜上所述點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）．
故答案為（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）．
（3）如圖2，∵M(jìn)（-1，4），C（3，0），B（0，3），
∴S_△MBC=S_△MCO+S_△MB0-S_△COB=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}×3×1$-$\frac{1}{2}$×3×3=3，
設(shè)直線l的解析式為y=kx，
∵直線BC解析式為y=x+3，直線CM解析式為y=2x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{k-1}}\\{y=\frac{3k}{k-1}}\end{array}\right.$所以點(diǎn)P（$\frac{3}{k-1}$，$\frac{3k}{k-1}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{k-2}}\\{y=\frac{6k}{k-2}}\end{array}\right.$所以點(diǎn)Q（$\frac{6}{k-2}$，$\frac{6k}{k-2}$），
∵S_△CPQ=$\frac{3}{2}$，
∴S_△COQ-S_△COP=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$3×\frac{6k}{k-2}$-$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3k}{k-1}$=$\frac{3}{2}$，
∴k=-2（或$\frac{1}{2}$不合題意舍棄），
∴直線l為y=-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是假設(shè)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用同一個(gè)未知數(shù)表示相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，用方程的思想解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．