Question

（2012•漳州）已知拋物線y=

1

4

x²+1（如圖所示）．
（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

0

，

1

），對(duì)稱軸是

x=0（或y軸）

；
（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長(zhǎng)即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)，

解答：解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱軸是y軸（或x=O）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，
∴∠ABO=90°-60°=30°．
∴AB=20A=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=

1

4

x²+1，
得  x=±2

3

．
∴P₁（2

3

，4），P₂（-2

3

，4）．  
解法二：∴OB=

AB2-OA2

=2

3

∴P₁（2

3

，4）．    
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得P₂（-2

3

，4）． 

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，4）
∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b
∴

b=2 2 3 k+b=4

解得：

k= 3 3 b=2

∴解析式為：y=

3

3

x+2
設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形，
∵點(diǎn)M在直線AP上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m，

3

3

m+2）
如圖，作MQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則MQ=m，AQ=OQ-OA=

3

3

m+2-2=

3

3

m
∵四邊形OAMN為菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，
即：m²+（

3

3

m）²=2²
解得：m=±

3

代入直線AP的解析式求得y=3或1，
當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí)，分為兩種情況：
當(dāng)N在右圖1位置時(shí)，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，1），即N₁坐標(biāo)為（

3

，1）．
當(dāng)N在右圖2位置時(shí)，
∵M(jìn)N=OA=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，1），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，-1），即N₂坐標(biāo)為（-

3

，-1）．
當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí)，分為兩種情況：
第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時(shí)（PA內(nèi)部）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，1）；
第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長(zhǎng)線上時(shí)（在第一象限）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，-1）
∴存在N₁（

3

，1），N₂（-

3

，-1）N₃（-

3

，1），N₄（

3

，-1）使得四邊形OAMN是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，并能正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，本題中所涉及的存在型問(wèn)題更是近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題．