Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且滿足

BC

=

FC

，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，交AF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA=

3

，AE=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）首先連接OC，由OC=OA，

BC

=

FC

，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點(diǎn)C，易證得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據(jù)AE=3求得AC的長(zhǎng)，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA=

1

2

AB，在△ACB中，利用已知條件求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵

BC

=

FC

，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴△ABC是直角三角形，
∵tan∠CBA=

3

，
∴∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC為直角三角形，AE=3，
∴AC=2

3

，
連接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF為等邊三角形，
∴AF=OA=

1

2

AB，
在Rt△ACB中，AC=2

3

，tan∠CBA=

3

，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．