Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒2

3

cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OP的長度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）顯然，當(dāng)x=0時(shí)，四邊形PBEQ即梯形ABED，請(qǐng)問，當(dāng)P在線段AC的其他位置時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)求出OA的長度，再求出AP的長等于2

3

x，OP的長即可求出；
②過E作EH⊥BD于H，表示出BQ的長等于2-x，分別求出△BPQ和△BEQ的面積，兩個(gè)三角形的面積之和就是四邊形PBEQ的面積為y．（2）根據(jù)梯形的定義，可以分三種情況討論：
①PQ∥BE時(shí)，因?yàn)椤螮BQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
②PE∥BQ時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P是CO的中點(diǎn)，根據(jù)AP的長度等于速度乘以時(shí)間列出算式即可求出；
③EQ∥BP時(shí)，過E作EH⊥DO，垂足為H，得到△QEH與△BPO相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式即可求出x的值．

解答：解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
∵AB=2，
∴OB=OD=1，OA=OC=

3

，
∴OP=

3

-2

3

x，（2分）
②過點(diǎn)E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線，
∴EH=

1

2

OC=

3

2

，
∵DQ=x，
∴BQ=2-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=

1

2

×（2-x）（

3

-2

3

x）+

1

2

×（2-x）×

3

2

，
=

3

x2-

11 3

4

x+

3 3

2

；（3分）

（2）能成為梯形，分三種情況：

①當(dāng)PQ∥BE時(shí)，∠PQO=∠DBE=30°，
∴

OP

OQ

=tan30o=

3

3

，
即

3 -2 3 x

1-x

=

3

3

，
∴x=

2

5

，
此時(shí)PB不平行QE，
∴x=

2

5

時(shí)，四邊形PBEQ為梯形．（2分）

②當(dāng)PE∥BQ時(shí)，P為OC中點(diǎn)，

∴AP=

3 3

2

，即2

3

x=

3 3

2

，
∴x=

3

4

，
此時(shí)，BQ=2-x=

5

4

≠PE，
∴x=

3

4

時(shí)，四邊形PEQB為梯形．（2分）

③

當(dāng)EQ∥BP時(shí)，過E作EH⊥DO，垂足為H，
∴△QEH∽△BPO，
∴

HE

OP

=

QH

BO

，
∴

3 2

2 3 x- 3

=

x- 1 2

1

，
∴x=1（x=0舍去），
此時(shí)，BQ不平行于PE，
∴x=1時(shí)，四邊形PEQB為梯形．（2分）
綜上所述，當(dāng)x=

2

5

、

3

4

或1時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)及梯形的判定方法，熟練掌握性質(zhì)和定義是解本題的關(guān)鍵．本題還要注意說明以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，因?yàn)榈走叢淮_定，所以一定要分情況討論．