Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)A、B在x軸上（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)C在y軸正半軸上，若A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）P是（2）中所求拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)Q是此拋物線上一點(diǎn)，若△ABQ與△ABP的面積相等，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)已知條件“A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2”易求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入，求得a的值；
（3）根據(jù)“同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等”可知，點(diǎn)Q是直線y=與拋物線的交點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖，∵點(diǎn)A、B在x軸上（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），A（-1，0），OB=3OA，
∴B（3，0）．
又∵tan∠CAO=2，點(diǎn)C在y軸正半軸上，
∴

CO

AO

=2，則CO=2OA=2，
∴C（0，2）
綜上所述，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是：（3，0），（0，2）；

（2）∵該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是：A（-1，0），B（3，0），
∴設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得
2=a（0+1）（0-3），
解得，a=-

2

3

，
則該拋物線的解析式為：y=-

2

3

（x+1）（x-3）（或y=-

2

3

x²+

4

3

x+2）；

（3）由（2）中拋物線解析式得到：y=-

2

3

（x-1）²+

8

3

，則頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，

8

3

）．
∵△ABQ與△ABP的面積相等，且點(diǎn)Q是拋物線上的一點(diǎn)
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P到x軸的距離相等，
∴點(diǎn)Q是直線y=±

8

3

與拋物線的交點(diǎn)．
①當(dāng)y=

8

3

時(shí)，x=1，此時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，即Q（1，

8

3

）；
②當(dāng)y=-

8

3

時(shí)，-

2

3

（x-1）²+

8

3

=-

8

3

，
解得，x₁=1+2

2

，x₂=1-2

2

，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1+2

2

，-

8

3

）或（1-2

2

，-

8

3

）
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：（1，

8

3

）、（1+2

2

，-

8

3

）或（1-2

2

，-

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題．解答（2）題時(shí)，因?yàn)橐阎獟佄锞�與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)交點(diǎn)式關(guān)系式，可以減少繁瑣的計(jì)算過(guò)程．