Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】試題分析：（1）、連接OB，根據OP⊥OA，CP=CB得出∠CPB=∠APO，根據OA=OB得出∠A=∠OBA，然后根據∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°得出切線；（2）、設BC=x，則PC=x，OC=x+1，然后根據Rt△OBC的勾股定理求出x的值，從而得出BC的長度.

試題解析：（1）、連結OB，如圖，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）、設BC=x，則PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB2+BC2=OC2，

∴（）2+x2=（x+1）2，

解得x=2，

即BC的長為2．