Question

如圖，已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A、B不重合)，連結(jié)PC，過(guò)P作PO∥AC交BC于Q點(diǎn)．

(1)如果a、b滿足關(guān)系式a²＋b²－12a－16b＋100＝0，c是不等式組的最大整數(shù)解，試說(shuō)明△ABC的形狀．

(2)設(shè)AP＝x，S_△PCQ＝y(tǒng)，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍．

(3)根據(jù)(2)所求得的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算：當(dāng)AP取多長(zhǎng)時(shí)，△PCQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0． 　　即(a－6)2＋(b－8)2＝0 　　∴a＝6，b＝8． 　　解不等式組 　　 　　得　　＜x＜11． 　　∴其最大整數(shù)解是x＝10，即c＝10． 　　由于a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　(2)由(1)得： 　　S△ABC＝ab＝×6×8＝24． 　　由三角形的面積公式可得： 　　＝， 　　即　　＝． 　　∴S△PBC＝(10－x)． 　　∵PQ∥AC，∴＝． 　　∴＝＝＝， 　　∴S△PCQ＝·(10－x) 　　＝－x2＋x， 　　即　　y＝－x2＋x． 　　其中，自變量x的取值范圍是 　　0＜x＜10． 　　(3)當(dāng)x＝－＝5， 　　y最大＝＝6． 　　即當(dāng)AP取5時(shí)，△PCQ的面積最大，最大面積為6．

提示：

本題是一道代數(shù)、幾何綜合題． 　　(1)利用已知中條件可求出a、b、c的值，從而可判斷△ABC的形狀． 　　(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系是一種常見(jiàn)題型，利用幾何知識(shí)寫出y與x的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可． 　　(3)即求(2)小問(wèn)中函數(shù)的最值．