Question

如圖，AD是∠BAC的平分線，DE平行AB交AC于點(diǎn)E，DF平行AC交AB于點(diǎn)F，延長FE交BC的延長線于點(diǎn)G，求證：
（1）AG=DG；
（2）∠GAC=∠B．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由DE∥AB，DF∥AC，可證得四邊形AEDF是平行四邊形，∠DAF=∠ADE，又由AD是∠BAC的平分線，可證得AE=DE，即可證得四邊形AEDF是菱形，則可得EF是AD的垂直平分線，繼而證得結(jié)論；
（2）由AG=DG，AE=DE，可得∠GAD=∠GDA，∠EAD=∠EDA，繼而證得∠GAC=∠GDE，又由DE∥AB，可得∠GDC=∠B，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠DAF=∠ADE，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAF=∠DAE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∴四邊形AEDF是菱形，
∴EF是AD的垂直平分線，
∵延長FE交BC的延長線于點(diǎn)G，
∴AG=DG；

（2）∵AG=DG，AE=DE，
∴∠GAD=∠GDA，∠EAD=∠EDA，
∵∠GAC=∠GAD-∠EAD，∠GDE=∠GDA-∠EDA，
∴∠GAC=∠GDE，
∵DE∥AB，
∴∠GDE=∠B，
∴∠GAC=∠B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．