Question

明明在矩形紙片ABCD上為“數(shù)學(xué)愛(ài)好者協(xié)會(huì)”設(shè)計(jì)的徽標(biāo)如圖所示，其中AB=5，AD=6．曲線(xiàn)BMH是拋物線(xiàn)的一部分，點(diǎn)H在BC邊上．拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行于A(yíng)B，BH=4，頂點(diǎn)M到BC的距離為4．四邊形DEFG是正方形，點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，E、G兩點(diǎn)分別在A(yíng)D、CD邊上．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)．
（3）將矩形紙片沿FG所在的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)M能否落在BC上，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）答案不唯一，在此以B點(diǎn)為圓心、BC為x軸、BA為y軸建立直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行說(shuō)明．
已知了BH=4，那么H（4，0），而M到BC的距離為4，且BH=4，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知M（2，4）．已知了三點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）如果設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m，那么F點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（6-m，5-m），代入（1）的拋物線(xiàn)中即可求出m的值．
（3）已知了正方形的邊長(zhǎng)，即可求出CG的長(zhǎng)，如果CG的長(zhǎng)是M到BC的距離的一半即2，則說(shuō)明M可以落到BC上，反之則不能．
解答：解：（1）如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
則M（2，4），H（4，0）．
設(shè)所求拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx．
則，
∴．
∴y=-x²+4x．

（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6-m，5-m），
∵點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，
∴-（6-m）²+4（6-m）=5-m．
整理，得m²-9m+17=0．
∴m₁=＞6（舍），m₂=．
∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為．

（3）點(diǎn)M不能落在BC上．
∵點(diǎn)M到BC的距離為4，點(diǎn)F到BC的距離為5-=，
而≠2，
∴將矩形紙片沿FG所在的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)M不能落在BC上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．