Question

（2006•上海模擬）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，M是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交邊AB于點(diǎn)P，且AM=BN．
（1）求證：MP=NP；
（2）設(shè)AM=x，四邊形MCBP的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
（3）探索：以線段CM為直徑的圓能否與邊AB相切？如果能夠相切，請(qǐng)求出x的值；如果不能相切，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作輔助線MQ（過(guò)點(diǎn)M作MQ∥CN，交AB于點(diǎn)Q），構(gòu)建全等三角形：△MQP≌△NBP；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得MP=NP；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥CN，垂足為點(diǎn)D．利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得AM=BN=x，MC=2-x，PD=

1

2

（2-x）；利用“割補(bǔ)法”知，y=S_△MNC-S_△BNP=-

1

4

x²-

1

2

x+2，該函數(shù)的定義域即根據(jù)AC邊的長(zhǎng)度來(lái)設(shè)定；
（3）設(shè)以線段CM為直徑的圓的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．要使以線段CM為直徑的圓能與邊AB相切，必須有OF=

1

2

CM，據(jù)此列出關(guān)于x的方程，通過(guò)解該方程即可求得x的值．

解答：解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥CN，交AB于點(diǎn)Q． 
∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=45°．
∵M(jìn)Q∥CN，∴∠AMQ=∠C=90°．
∴∠AQM=∠A=45°．
∴AM=MQ． 
∵AM=BN，∴MQ=BN．
∵M(jìn)Q∥CN，∴∠QMP=∠N，∠MQP=∠NBP，
∵M(jìn)Q=BN，
∴△MQP≌△NBP． 
∴MP=NP；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥CN，垂足為點(diǎn)D．
∴PD∥AC．
∵由（1）知，MP=NP，
∴PD=

1

2

MC． 
∵AM=BN=x，
∴MC=2-x，PD=

1

2

（2-x）． 
∴y=S_△MNC-S_△BNP=

1

2

（2-x）（2+x）-

1

2

x•

1

2

（2-x）=-

1

4

x²-

1

2

x+2，
即所求的函數(shù)解析式為y=-

1

4

x²-

1

2

x+2，
定義域?yàn)?＜x＜2．

（3）設(shè)以線段CM為直徑的圓的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為點(diǎn)F． 
∵AO=x+

1

2

（2-x）=

1

2

x+1，∠A=45°，
∴OF=

2

2

（

1

2

x+1）．
∵要使以線段CM為直徑的圓能與邊AB相切，必須有OF=

1

2

CM=

1

2

（2-x），
∴

2

2

(

1

2

x+1)=

1

2

(2-x)． 

2

2

（

1

2

x+1）=

1

2

（2-x），
解得，x=6-4

2

，
即當(dāng)x=6-4

2

時(shí)，線段CM為直徑的圓能與邊AB相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)．