Question

如圖，

直線y=kx+4與x、y軸分別交于A、B兩點，且tan∠BAO=

4

3

，過點A的拋物線交y軸于點C，且OA=OC，并以直線x=2為對稱軸，點P是拋物線上的一個動點．
（1）求直線AB與拋物線的解析式；
（2）連接OP并延長到Q點，使得PQ=OP，過點Q分別作QE⊥x軸于E，QF⊥y軸于F，設(shè)點P的橫坐標為x，矩形OEQF的周長為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系．
（3）是否存在點P為圓心的圓與直線AB及x軸都相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先確定A，B，C的坐標再來求解析式；
（2）過P作PM⊥x軸于M．分①當x＜0時；②當1＜x＜3時；③當0＜x＜1或x＞3時；三種情況討論求解即可；
（3）由切線長定理知P點在∠BAO的平分線上或它的外角平分線上．

解答：解：（1）B（0，4），OB=4，OA=3，OC=3，
直線解析式為：y=-

4

3

x+4，
拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過P作PM⊥x軸于M．

顯然PM是Rt△OQE的中位線，即OE=2OM=2|x|，QE=2PM
點P在拋物線x²-4x+3上，則P（x，x²-4x+3），QE=2PM=2|x²-4x+3|，
①當x＜0時，x²-4x+3＞0，OE=-2x，y=2[-2x+2（x²-4x+3）]=4x²-20x+12；
②當1＜x＜3時，x²-4x+3＜0，y=2[2x-2（x²-4x+3）]=-4x²+20x-12；
③當0＜x＜1或x＞3時，x²-4x+3＞0，y=2[2x+2（x²-4x+3）]=4x²-12x+12．

（3）若⊙P與直線AB及x軸都相切，
則點P在∠BAO或它的外角的平分線所在的直線上．
①設(shè)∠BAO的角平分線交y軸于D，過D作DH⊥AB于H，
則DH=DO=m，BD=4-m，AH=AO=3，BH=5-3=2
在Rt△BHD中，BD²=BH²+DH²
即（4-m）²=m²+2²，
解得：m=

3

2

，即D（0，1.5）
則直線AD的解析式為：y=-

1

2

x+

3

2

，
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3聯(lián)立解得：

x1=3 y1=0

，

x2= 1 2 y2= 5 4

，
即P（

1

2

，

5

4

）；
②作∠BAO外角的平分線交y軸于G，
則AG⊥AD于A，則△DOA∽△AOG，故OG=2OA=6
即G（0，-6）直線DG解析式為：y=2x-6，
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3聯(lián)立解得：

x=3 y=0

，
綜上所述：存在點P（

1

2

，

5

4

），使⊙P與直線AB及x軸都相切．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，點在圖象上則它的坐標滿足圖象的解析式，分類討論的思想的應(yīng)用．