2.如圖,AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠EAC,DE=CB.
(1)求證:四邊形DEBC是矩形.
(2)若△ABC是等邊三角形,BC=4,EB=2,求AD2的值.
(3)某班的清潔區(qū)形如五邊形ADCBE,值日生李拼、張博兩人必須在規(guī)定時間內(nèi)打掃完畢,若李拼單獨完成需12分鐘,張博單獨完成需15分鐘.張博打掃6分鐘后,李拼加入一起打掃,兩人恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成,求規(guī)定時間.

分析 (1)借助已有的條件先證明△ADC≌△AEB,得出DC=EB,從而斷定四邊形DEBC為平行四邊形,再由邊角關系去證明∠EDC=90°即可得出結論;
(2)作輔助線AN∥CD,由于△ABC是等邊三角形,從而可以得出直角三角形AMD中的兩直角邊,根據(jù)勾股定理即可求得;
(3)巧妙的假設總清掃量為1,由已知即可找到規(guī)定的時間.

解答 (1)證明:∠DAB=∠DAC+∠BAC,∠EAC=∠EAB+∠BAC,
∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAC=∠EAB,
在△DAC與△EAB中,
有$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴DC=EB,∠ADC=∠AEB,
∵DE=CB,
∴四邊形DEBC是平行四邊形(兩組對邊相等),
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
又∵∠ADC=∠AEB,且∠EDC=∠ADC-∠ADE,∠DEB=∠AEB-∠AED,
∴∠EDC=∠DEB,
∵四邊形DEBC是平行四邊形,
∴∠EDC+∠DEB=180°(平行四邊形同旁內(nèi)角互補),
∴∠EDC=∠DEB=90°,
∴四邊形DEBC是矩形.
證畢.
(2)解:過點A做AN∥CD,交DE于M點,交BC于N點,如圖:

∵四邊形DEBC是矩形,AM∥CD,
∴AM⊥DE,AN⊥BC,DM=CN,
∵△ABC是等邊三角形,BC=4,
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=2,AB=AC=BC=4,
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∵CD=BE=MN=2,AM=AN-MN,
∴AM=2$\sqrt{3}$-2,
由AM⊥DE可知:AD2=AM2+DM2=AM2+CN2=20-8$\sqrt{3}$,
答:AD2的值為20-8$\sqrt{3}$.
(3)解:設該班的清潔區(qū)總工作量為1,那么李拼每分鐘打掃$\frac{1}{12}$、張博每分鐘打掃$\frac{1}{15}$,
由題意可知打掃時間為6+(1-$\frac{1}{15}$×6)÷($\frac{1}{12}$+$\frac{1}{15}$)=6+$\frac{9}{15}$÷$\frac{9}{60}$=6+4=10(分鐘),
故規(guī)定的時間為10分鐘.

點評 本題考查到了矩形的判定定理,勾股定理,等邊三角形三線合一問題已經(jīng)巧設方程,解題的關鍵是結合圖形,熟練的利用各大定理.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.先化簡,再求值:(x-4)(x+4y)+(3x-4y)2,其中x=2,y=-1.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.如圖,已知⊙O的半徑為2,C為直徑AB延長線上一點,BC=2.過C任作一直線l.若l上總存在點P,使過P所作的⊙O的兩切線互相垂直,則∠ACP的最大值等于45°.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AB=6,求BC.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

17.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB邊上有一動點P(不與A、B重合),連結DP,作PQ⊥DP,使得PQ交線段BC于點E,設AP=x.
(1)當x為何值時,△APD是等腰三角形?
(2)若設BE=y,求y關于x的函數(shù)關系式;
(3)若BC的長a可以變化,在現(xiàn)在的條件下,是否存在點P,使得PQ經(jīng)過點C?若不存在,請說明理由;若存在,寫出當BC的長在什么范圍內(nèi)時,可以存在這樣的點P,使得PQ經(jīng)過點C,并求出相應的AP的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.如圖1,已知拋物線y=ax2-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點,并與直線y=$\frac{1}{2}$x-2交于B、C兩點,其中點C是直線y=x-2與y軸的交點,連接AC.
(1)點B的坐標是(4,0);點C的坐標是(0,-2);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設點E是線段CB上的一個動點(不與點B、C重合),直線EF∥y軸,交拋物線與點F,問點E運動到何處時,線段EF的長最大?并求出EF的長的最大值;
(4)如圖2,點D是拋物線的頂點,判斷直線CD是否是經(jīng)過A、B、C三點的圓的切線,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

14.如圖,小亮以0.5m/s的速度從A點出發(fā)前進10m,向右轉15°,再前進10m,又向右轉15°,…,這樣一直走下去,他第一次回到出發(fā)點A時,從開始到停止共所需時間為480s.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.【試題背景】
已知:l∥m∥n∥k,平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d1、d2、d3,且d1=d3=1,d2=2.我們把四個頂點分別在l、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.
【探究1】
(1)如圖1,正方形ABCD為“格線四邊形”,BE⊥l于點E,BE的反向延長線交直線k于點F,求正方形ABCD的邊長.
【探究2】
(2)矩形ABCD為“格線四邊形”,其長:寬=2:1,則矩形ABCD的寬為$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$或.(直接寫出結果即可)
【探究3】
如圖2,菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°,△AEF是等邊三角形,AE⊥k于點E,∠AFD=90°,直線DF分別交直線l、k于點G、點M.求證:EC=DF.
【拓展】
(4)如圖3,l∥k,等邊△ABC的頂點A、B分別落在直線l、k上,AB⊥k于點B,且AB=4,∠ACD=90°,直線CD分別交直線l、k于點G、點M、點D、點E分別是線段GM、BM上的動點,且始終保持AD=AE,DH⊥l于點H.
猜想:DH在什么范圍內(nèi),BC∥DE?并說明此時BC∥DE的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.如圖,CD是⊙O的直徑,且CD=2cm,點P為CD的延長線上一點,過點P作⊙O的切線PA、PB,切點分別為A、B.
(1)連接AC,若∠APO=30°,試證明△ACP是等腰三角形;
(2)填空:
①當$\widehat{ADB}$的長為$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$cm時,四邊形AOBD是菱形;
②當DP=($\sqrt{2}$-1)cm時,四邊形AOBP是正方形.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案