分析 (1)借助已有的條件先證明△ADC≌△AEB,得出DC=EB,從而斷定四邊形DEBC為平行四邊形,再由邊角關系去證明∠EDC=90°即可得出結論;
(2)作輔助線AN∥CD,由于△ABC是等邊三角形,從而可以得出直角三角形AMD中的兩直角邊,根據(jù)勾股定理即可求得;
(3)巧妙的假設總清掃量為1,由已知即可找到規(guī)定的時間.
解答 (1)證明:∠DAB=∠DAC+∠BAC,∠EAC=∠EAB+∠BAC,
∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAC=∠EAB,
在△DAC與△EAB中,
有$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴DC=EB,∠ADC=∠AEB,
∵DE=CB,
∴四邊形DEBC是平行四邊形(兩組對邊相等),
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
又∵∠ADC=∠AEB,且∠EDC=∠ADC-∠ADE,∠DEB=∠AEB-∠AED,
∴∠EDC=∠DEB,
∵四邊形DEBC是平行四邊形,
∴∠EDC+∠DEB=180°(平行四邊形同旁內(nèi)角互補),
∴∠EDC=∠DEB=90°,
∴四邊形DEBC是矩形.
證畢.
(2)解:過點A做AN∥CD,交DE于M點,交BC于N點,如圖:
∵四邊形DEBC是矩形,AM∥CD,
∴AM⊥DE,AN⊥BC,DM=CN,
∵△ABC是等邊三角形,BC=4,
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=2,AB=AC=BC=4,
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∵CD=BE=MN=2,AM=AN-MN,
∴AM=2$\sqrt{3}$-2,
由AM⊥DE可知:AD2=AM2+DM2=AM2+CN2=20-8$\sqrt{3}$,
答:AD2的值為20-8$\sqrt{3}$.
(3)解:設該班的清潔區(qū)總工作量為1,那么李拼每分鐘打掃$\frac{1}{12}$、張博每分鐘打掃$\frac{1}{15}$,
由題意可知打掃時間為6+(1-$\frac{1}{15}$×6)÷($\frac{1}{12}$+$\frac{1}{15}$)=6+$\frac{9}{15}$÷$\frac{9}{60}$=6+4=10(分鐘),
故規(guī)定的時間為10分鐘.
點評 本題考查到了矩形的判定定理,勾股定理,等邊三角形三線合一問題已經(jīng)巧設方程,解題的關鍵是結合圖形,熟練的利用各大定理.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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