Question

△ABC，點(diǎn)D在AB上，AD=AC，連接CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC、射線CA上，∠EDF=∠ACB，點(diǎn)G在DF上，DG•BC=A•DE
（1）如圖，求證：∠DGE=∠BAC；
（2）若AD=3BD，cos∠BAC=

7

8

，射線CG交AB于點(diǎn)H，探究線段DH，F(xiàn)A，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得

DG

AC

=

DE

CB

，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得BP=

15

k，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得△CBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

CD

AC

=

BC

AB

，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得△CGO∽△EDO，根據(jù)∠GCD=∠ABC，∠CHD=∠BHC，可得△CHD∽△BHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

CH

BH

=

HD

HC

=

CD

BC

=

3

4

，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．

解答：（1）證明：∵DG•BC=AD•DE，
∴

DG

AD

=

DE

BC

．
∵AD=AC，
∴

DG

AC

=

DE

CB

．
∵∠EDG=∠ACB，
∴△EDG∽△BCA．
∴∠DGE=∠BAC；
（2）如圖2當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，作BP⊥AC與P點(diǎn)，設(shè)AB=8k，由cos∠BAC=

AP

AB

=

7

8

得AP=7k，
∵AD=3DB，
∴AC=AD=6k，PC=k．
在Rt△ABP內(nèi)，AB=8k，AP=7k，
∴BP=

15

k，
在Rt△BCP內(nèi)PC=k，BP=

15

k，
∴BC=4k
∵BD=2k，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠DCB=∠BAC，

CD

AC

=

BC

AB

∴CD=

3

4

BC
設(shè)EG交CD于點(diǎn)O，
由∠DCB=∠A=∠DGE，∠GOD=EOC，
∴△GOD∽△COE，
∴

OG

CO

=

OD

OE

，

OG

OD

=

OC

OE

∵∠COG=∠EOD，
∴△CGO∽△EDO，
∴∠GCD=∠GED．
由（1）△EDG∽△BCA得∠GED=∠ABC，
∴∠GCD=∠ABC，
∵∠CHD=∠BHC，
∴△CHD∽△BHC，
∴

CH

BH

=

HD

HC

=

CD

BC

=

3

4

，
設(shè)HD=3t，CH=4t，BH=

16

3

t
∴BD=

7

3

t=2k
∴HD=

18

7

k
∵FA+FC=6k，
∴FA+FC=

7

3

HD，
如圖3當(dāng)點(diǎn)F在CA延長線上時(shí)，F(xiàn)C-FA=

7

3

HD．

點(diǎn)評：本題考查了相似形綜合題，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，多次利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．