△ABC,點(diǎn)D在AB上,AD=AC,連接CD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段BC、射線CA上,∠EDF=∠ACB,點(diǎn)G在DF上,DG•BC=A•DE
(1)如圖,求證:∠DGE=∠BAC;
(2)若AD=3BD,cos∠BAC=
7
8
,射線CG交AB于點(diǎn)H,探究線段DH,F(xiàn)A,F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):相似形綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)等式的性質(zhì),可得
DG
AC
=
DE
CB
,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得答案;
(2)根據(jù)勾股定理,可得BP=
15
k,根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的兩個(gè)三角形相似,可得△CBD∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得
CD
AC
=
BC
AB
,根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的兩個(gè)三角形相似,可得△CGO∽△EDO,根據(jù)∠GCD=∠ABC,∠CHD=∠BHC,可得△CHD∽△BHC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得
CH
BH
=
HD
HC
=
CD
BC
=
3
4
,根據(jù)等式的性質(zhì),可得答案.
解答:(1)證明:∵DG•BC=AD•DE,
DG
AD
=
DE
BC

∵AD=AC,
DG
AC
=
DE
CB

∵∠EDG=∠ACB,
∴△EDG∽△BCA.
∴∠DGE=∠BAC;
(2)如圖2當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),作BP⊥AC與P點(diǎn),設(shè)AB=8k,由cos∠BAC=
AP
AB
=
7
8
得AP=7k,
∵AD=3DB,
∴AC=AD=6k,PC=k.
在Rt△ABP內(nèi),AB=8k,AP=7k,
∴BP=
15
k,
在Rt△BCP內(nèi)PC=k,BP=
15
k,
∴BC=4k
∵BD=2k,
BD
BC
=
BC
AB
,
∵∠CBD=∠ABC,
∴△CBD∽△ABC,
∴∠DCB=∠BAC,
CD
AC
=
BC
AB

∴CD=
3
4
BC
設(shè)EG交CD于點(diǎn)O,
由∠DCB=∠A=∠DGE,∠GOD=EOC,
∴△GOD∽△COE,
OG
CO
=
OD
OE
,
OG
OD
=
OC
OE

∵∠COG=∠EOD,
∴△CGO∽△EDO,
∴∠GCD=∠GED.
由(1)△EDG∽△BCA得∠GED=∠ABC,
∴∠GCD=∠ABC,
∵∠CHD=∠BHC,
∴△CHD∽△BHC,
CH
BH
=
HD
HC
=
CD
BC
=
3
4
,
設(shè)HD=3t,CH=4t,BH=
16
3
t
BD=
7
3
t
=2k
∴HD=
18
7
k

∵FA+FC=6k,
∴FA+FC=
7
3
HD
,
如圖3當(dāng)點(diǎn)F在CA延長線上時(shí),F(xiàn)C-FA=
7
3
HD.
點(diǎn)評:本題考查了相似形綜合題,利用了相似三角形的判定與性質(zhì),多次利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
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9
10
,AC=BC,則?ABCD的面積是
 

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A、2
3
B、3
3
C、6
3
D、
9
2
3

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計(jì)算:(
1
2
-2-6sin30°-(
1
7
-
5
0+
2
+|
2
-
3
|

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AE
EC
=
1
4

(1)若直線l過B點(diǎn),求AD的長;
(2)寫出AD的取值范圍,不必說明理由;
(3)若直線l分矩形ABCD的兩部分的面積比是1:10,設(shè)直線l與矩形的另一邊相交于H,AH=x.請用含x的代數(shù)式表示AD.

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