Question

已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若m為整數(shù)，且拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸兩交點間的距離為2，求拋物線的解析式；
（3）若直線y=x+b與（2）中的拋物線沒有交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論．①當m=0時，方程為x-2=0求出方程的解x=2；②當m≠0，則得到一個一元二次方程，求出方程的根的判別式△=（m+1）²得出不論m為何實數(shù)，△≥0成立，即可得到答案；
（2）設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，x2=

m-1

m

，根據(jù)題意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，進一步求出m即可；
（3）得出方程組①

y =x2-2x y=x+b

，根據(jù)一元二次方程的根的判別式求出b的范圍即可．

解答：（1）證明：分兩種情況討論．
①當m=0時，方程為x-2=0，∴x=2，方程有實數(shù)根；
②當m≠0，則一元二次方程的根的判別式△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不論m為何實數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實數(shù)根；
綜合①、②，可知m取任何實數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數(shù)根．

（2）解：設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標．
令y=0，則mx²-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x₁=2，x2=

m-1

m

，
∴拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2不論m為任何不為0的實數(shù)時恒過定點（2，0）．
∵|x₁-x₂|=2，
∴|2-x₂|=2，
∴x₂=0或x₂=4，∴m=1或m=-

1

3

（不合題意舍去），
當m=1時，y=x²-2x，
把（2，0）代入，左邊=右邊，
m=1符合題意，
∴拋物線解析式為y=x²-2x
答：拋物線解析式為y=x²-2x；

（3）解：①由

y =x2-2x y=x+b

，
得x²-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直線y=x+b與拋物線y=x²-2x沒有交點，
∴△=9+4b＜0，
∴b＜-

9

4

∴當b＜-

9

4

，直線y=x+b與（2）中的拋物線沒有交點．
∴b的取值范圍是b＜-

9

4

．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點，解二元一次方程組，根的判別式，根與系數(shù)的關系等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．