Question

如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓內(nèi)切的⊙O₁與AB切于C，設(shè)AC=x，⊙O₁的半徑為y，則y與x的關(guān)系式為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接O₁C，O₁O，如圖所示，由圓O₁與AB相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到O₁C⊥AB，O₁C為半徑y(tǒng)，再由半圓直徑AB的長(zhǎng)，求出半徑OA的長(zhǎng)，用OA-AC及AC=x，表示出OC的長(zhǎng)，由兩圓內(nèi)切，得到圓心距等于兩半徑之差，由大圓的半徑2與小圓半徑y(tǒng)之差表示出O₁O，在直角三角形O₁CO中，利用勾股定理列出關(guān)系式，將各自的值代入，化簡(jiǎn)后即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．
解答：解：連接O₁C，O₁O，如圖所示：

∵圓O₁與AB相切與點(diǎn)C，且圓O₁的半徑為y，
∴O₁C⊥AB，O₁C=y，
∵AB=4，
∴OA=2，又AC=x，
∴OC=OA-AC=2-x，
∵圓O₁與圓O內(nèi)切，
∴圓心距d=OO₁=2-y，
在Rt△O₁CO中，根據(jù)勾股定理得：O₁C²+CO²=O₁O²，
即y²+（2-x）²=（2-y）²，
化簡(jiǎn)得：y=-x²+x．
故答案為：y=-x²+x
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩圓相切的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心角等于兩半徑之和；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩半徑之差，解本題的關(guān)鍵是連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立關(guān)系式．