Question

如圖①所示，直線(xiàn)l₁：y=3x+3與x軸交于B點(diǎn)，與直線(xiàn)l₂交于y軸上一點(diǎn)A，且l₂與x軸的交點(diǎn)為C（1，0）．
（1）求證：∠ABC=∠ACB；
（2）如圖②所示，過(guò)x軸上一點(diǎn)D（-3，0）作DE⊥AC于E，DE交y軸于F點(diǎn)，交AB于G點(diǎn)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖③所示，將△ABC沿x軸向左平移，AC邊與y軸交于一點(diǎn)P（P不同于A(yíng)、C兩點(diǎn)），過(guò)P點(diǎn)作一直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于Q點(diǎn)，與x軸交于M點(diǎn)，且CP=BQ，在△ABC平移的過(guò)程中，線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的長(zhǎng)度；若變化，確定其變化范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)求出OB=OC，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等得到AB=AC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)等角的余角相等求出∠FDO=∠BAO，然后利用“角邊角”證明△DOF和△AOB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OF=OB，從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式求出直線(xiàn)DF的解析式，與直線(xiàn)l₁的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB交BC于點(diǎn)N，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠MPN=∠Q，然后證明PN=BQ，再利用“角角邊”證明△QBM和△PNM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=BM，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得ON=OC，從而證明OM=

1

2

BC，是定值．

解答：證明：（1）對(duì)于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=-1，
∴B（-1，0）．
∵C（1，0），
∴OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；

解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC，
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
對(duì)于y=3x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴A（0，3），
又∵D（-3，0），
∴DO=AO．
∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△DOF≌△AOB（ASA），
∴OF=OB，
∴F（0，1）．
設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=1

，
解得

k= 1 3 b=1

，
∴y=

1

3

x+1，
聯(lián)立

y= 1 3 x+1 y=3x+3

，
解得

x=- 3 4 y= 3 4

，
所以，點(diǎn)G（-

3

4

，

3

4

）；

解：（3）OM的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB交BC于N點(diǎn)，
則∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNC=∠PCB，
∴PN=PC，
∵CP=BQ，
∴PN=BQ，
∵∠2=∠3，
∴△QBM≌△PNM（AAS），
∴MN=BM．
∵PC=PN，PO⊥CN，
∴ON=OC，
∵BM+MN+ON+OC=BC，
∴OM=MN+ON=

1

2

BC=1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)，待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)的求解，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)系比較復(fù)雜，但難度不大，只要仔細(xì)分析，認(rèn)真求解，便不難解答．