Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以一腰AB 為直徑作⊙O交BC于D，又過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷DE與圓O的位置關系，并說明理由；
（2）判斷DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結AD、OD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，而AB=AC=5，則根據(jù)等腰三角形的性質得BD=CD=

1

2

BC=4，于是可判斷OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，由于DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理可得DE與圓O相切；
（2）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理計算出AD=3，再證明Rt△ABD∽Rt△ADE，然后利用相似比即可計算出DE的長．

解答：解：（1）DE與圓O相切．理由如下：
連結AD、OD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=5，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與圓O相切；
（2）在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=4，
∴AD=

AB2-BD2

=3，
∵AD為等腰△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴Rt△ABD∽Rt△ADE，
∴

BD

DE

=

AB

AD

，即

4

DE

=

5

3

，
∴DE=

12

5

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質．