Question

如圖1，已知，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，點(diǎn)P是CE的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，BG⊥AP，
求證：（1）△AEP∽△DEB；（2）CE²=ED•EP．
若點(diǎn)P在線段CE上或EC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2和圖3），上述結(jié)論CE²=ED•EP還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（圖2和圖3挑選一張給予說(shuō)明即）

Answer 1

證明：（1）∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；

（2）選圖2．成立，理由如下：
∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
即CE²=AE•BE．
和（1）中的證明同理，得△AEP∽△DEB，
∴，
即AE•BE=ED•EP，
∴BE=，即AE•BE=ED•EP，
又CE²=AE•BE，
∴CE²=ED•EP．
分析：（1）根據(jù)等角的余角相等可以證明∠P=∠DBE，從而根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等可以證明兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)．注意：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似．