Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC中，點A、B的坐標分別為A（4，0）、B（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動（點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動），過點N作NP∥AB交AC于點P，連接MP．
（1）直接寫出OA、AB的長度；
（2）試說明△CPN∽△CAB；
（3）在兩點的運動過程中，求△MPA的面積S與運動的時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出時，運動時間t的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)點A和B的坐標可直接得出OA=4，AB=3；

（2）∵四邊形OABC為矩形，
∴AB⊥BC，
又∵NP⊥BC，
∴AB∥NP，
∴△CPN∽△CAB；

（3）設(shè)兩點的運動時間為t小時，
∵AB=OB=3，OA=BC=4，
則CN=AM=4-t，
∵△CPN∽△CAB，=，
∴PN=（4-t），可求的P點的坐標為（4-t，t），
∴S_△MPA=（4-t）•t=-（t-2）²+，
∴當t=2時，△MPA面積=．
分析：（1）根據(jù)點A和B的坐標可直接寫出OA和AB的長度；
（2）根據(jù)四邊形OABC為矩形，推出AB⊥BC，又知NP⊥BC，可推出AB∥NP，進而推出AB∥NP，可證△CPN∽△CAB；
（3）設(shè)兩點的運動時間為x小時，由已知條件求出CN，然后根據(jù)△CPN∽△CAB，求出PN，即可求出點P的坐標，再將數(shù)值代入三角形面積公式，即可求解．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題綜合性較強，涉及到動點問題，有一定的拔高難度，屬于中檔題．