Question

19．由從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)組成如下三角形的數(shù)表，觀察規(guī)律并完成解答．

（1）從表中我們發(fā)現(xiàn)：第10行的最后一個(gè)數(shù)是100；我們猜想：第n行的最后一個(gè)數(shù)應(yīng)為n²．
（2）求第10行各數(shù)之和．
（3）第n行各數(shù)之和是2n³-3n²+3n-1（直接寫(xiě)答案）．

Answer 1

分析 （1）只觀察第一行的最后一個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)是行數(shù)的平方；
（2）先計(jì)算每行有幾個(gè)數(shù)，還要知道第9行的最后一個(gè)數(shù)為81，所以第10行的第一個(gè)數(shù)為82，最后一個(gè)數(shù)為100，再計(jì)算第10行的和；
（3）先表示每行有幾個(gè)數(shù)，還要知道第n-1行的最后一個(gè)數(shù)為（n-1）²，所以第n行的第一個(gè)數(shù)為（n-1）²+1，最后一個(gè)數(shù)為n²，再計(jì)算第n行的和；

解答 解：（1）由表得：第1行的最后一個(gè)數(shù)是：1=1²，
第2行的最后一個(gè)數(shù)是：4=2²，
第3行的最后一個(gè)數(shù)是：9=3²，
第4行的最后一個(gè)數(shù)是：16=4²，
所以第10行的最后一個(gè)數(shù)是：102=100，
則第n行的最后一個(gè)數(shù)應(yīng)為：n²，
故答案為：100；n²；
（2）由條件知：第10行一共有：2×10-1=19個(gè)數(shù)，
第10行的所有數(shù)為：82，83，84，85，…，97，98，99，100；
∴第10行各數(shù)之和為：$\frac{82+100}{2}$×19=1729；
（3）第n行一共有：（2n-1）個(gè)數(shù)，
第n行的第一個(gè)數(shù)為（n-1）²+1，最后一個(gè)數(shù)為n²，
所以第n行各數(shù)之和是：$\frac{（n-1）^{2}+1+{n}^{2}}{2}$×（2n-1）=（n²-n+1）（2n-1）=2n³-3n²+3n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)字類的變化題，要認(rèn)真觀察圖形，找行與列中特殊位置數(shù)的規(guī)律；如每行有幾個(gè)數(shù)，每行最后一個(gè)數(shù)或第一個(gè)數(shù)哪個(gè)數(shù)的規(guī)律比較簡(jiǎn)單或明顯，從此入手，解決問(wèn)題．