Question

17．如圖，直線l₁的函數(shù)關(guān)系式為$y=\frac{1}{2}x+1$，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂經(jīng)過定點(diǎn)A（4，0），B（-1，5），直線l₁與l₂相交于點(diǎn)C，
（1）求直線l₂的解析式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上存在一點(diǎn)F（不與C重合），使得△ADF和△ADC的面積相等，請求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在x軸上是否存在一點(diǎn)E，使得△BCE的周長最短？若存在請求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可直接求得l₂的函數(shù)解析式；
（2）首先解兩條之間的解析式組成的方程組求得C的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）△ADF和△ADC的面積相等，則F的縱坐標(biāo)與C的總坐標(biāo)一定互為相反數(shù)，代入l₂的解析式即可求解；
（4）求得C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后求得經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)和B點(diǎn)的直線解析式，直線與x軸的交點(diǎn)就是E．

解答 解：（1）設(shè)l₂的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-k+b=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是：y=-x+4；
（2）在$y=\frac{1}{2}x+1$中令y=0，解得：x=-2，則D的坐標(biāo)是（-2，0）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
則C的坐標(biāo)是（2，2）．
則S_△ADC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
（3）把y=-2代入y=-x+4，得-2=-x+4，
解得：x=6，
則F的坐標(biāo)是（6，-2）；
（4）C（2，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是（2，-2），
則設(shè)經(jīng)過（2，-2）和B的函數(shù)解析式是y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{-m+n=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
則直線的解析式是y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
令y=0，則-$\frac{7}{3}$x+$\frac{8}{3}$=0，解得：x=$\frac{8}{7}$．
則E的坐標(biāo)是（$\frac{8}{7}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及對稱的性質(zhì)，正確確定E的位置是本題的關(guān)鍵．