Question

（2008•�？谝荒＃┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B（2，3）是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，連接BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形．
（1）①直接寫(xiě)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
     ②求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為M，試在線段AC上找出這樣的點(diǎn)P，使得△PBM是以BM為底邊的等
腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線把?OACB的面積分為1：3兩部分，求這條直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)B（2，3）是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，得出A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），進(jìn)而得出AO的長(zhǎng)，即可得出BC=AO，求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②根據(jù)O，A，C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求出AC所在解析式，進(jìn)而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點(diǎn)P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點(diǎn)上，求出即可；
（3）由條件可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且把?OACB的面積分為1：3兩部分的直線有兩條，分別得出即可．

解答：解：（1）①∵點(diǎn)B（2，3）是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∵四邊形OACB是平行四邊形，
∴BC=AO，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，3），

②設(shè)所求的拋物線為y=ax²+bx+c，則依題意，得
  

c=0 16a+4b+c=0 36a+6b+c=3

，
 解得：

a= 1 4 b=-1 c=0

，
∴所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

4

x²-x．

（2）設(shè)線段AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=k₁x+b₁，根據(jù)題意，得

4k1+b1=0 6k1+b1=3

，
解得：

k1= 3 2 b1=-6

．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=

3

2

x-6．
∵y=

1

4

x²-x=

1

4

（x²-4x），
=

1

4

（x²-4x+4-4），
=

1

4

（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，-1），
∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點(diǎn)P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點(diǎn)上，
而B(niǎo)M=4，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把y=1代入y=

3

2

x-6中，得x=

14

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

14

3

，1）．

（3）由條件可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且把?OACB的面積分為1：3兩部分的直線有兩條．
（�。�∵?OACB=OA•BD=4×3=12，△OBD的面積=

1

2

OD•BD=

1

2

×2×3=3，
∴直線x=2為所求．
（ⅱ）設(shè)符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點(diǎn)E（x₁，0）、F（x₂，3），
則AE=4-x₁，CF=6-x₂
∴四邊形ACFE的面積=

1

2

（4-x₁+6-x₂）×3=

1

4

×12．
即x₁+x₂=8．
∵BC∥x軸，
∴△MDE∽△MBF，
∴

ED

FB

=

MD

MB

，
∴

x1-2

x2-2

=

1

4

，
即4x₁-x₂=6．
∴x₁=

14

5

，x₂=

26

5

，
∴E（

14

5

，0）、F（

26

5

，3），
設(shè)直線ME的函數(shù)關(guān)系式為y=k₂x+b₂，則

2k2+b2=-1 14 5 k2 +b2=0

，
解得：

k2= 5 4 b2=- 7 2

，
∴直線ME的函數(shù)關(guān)系式為y=

5

4

x-

7

2

．
綜合（�。�（ⅱ）得，所求直線為：x=2或y=

5

4

x-

7

2

．
（注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分．）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用平行四邊形的面積以及相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．