Question

14．如圖，若雙曲線y=$\frac{k}{x}$與邊長為5的等邊△AOB的邊OA、AB分別相交于C、D兩點(diǎn)，且OC=3BD．則實(shí)數(shù)k的值為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)OC=3x，則BD=x，分別表示出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出k，繼而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，
設(shè)BD=x，則OC=3x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
則OE=$\frac{3}{2}$x，CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
則點(diǎn)C坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$x，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
則BF=$\frac{1}{2}$x，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x²，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
則$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x²=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
解得：x₁=1，x₂=0（舍去），
故k=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題關(guān)鍵是利用k的值相同建立方程，有一定難度．