Question

如圖是某居民小區(qū)的一塊直角三角形空地ABC，某斜邊AB=100米，直角邊AC=80米．現(xiàn)要利用這塊空地建一個(gè)矩形停車場DCFE，使得D點(diǎn)在BC邊上，E、F分別是AB、AC邊的中點(diǎn)．
（1）求另一條直角邊BC的長度；
（2）求停車場DCFE的面積；
（3）為了提高空地利用律，現(xiàn)要在剩余的△BDE中，建一個(gè)半圓形的花壇，使它的圓心在BE邊上，且使花壇的面積達(dá)到最大，請(qǐng)你在原圖中畫出花壇的草圖，求出它的半徑（不要求說明面積最大的理由），并求此時(shí)直角三角形空地ABC的總利用率是百分之幾（精確到1%）．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理可求出BC的長；
（2）由已知可得EF為△ABC的中位線，由中位線定理可知EF=

1

2

BC=

1

2

×60=30m，F(xiàn)C=

1

2

AC=

1

2

×80=40（米），可求出矩形的面積；
（3）如圖，當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時(shí)，半圓O與BD、DE相切，設(shè)切點(diǎn)分別為G、K，圓心為O，連接OG、OK，則OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，即四邊形OGDK為正方形，設(shè)OG=x，易證△OBG∽△ABC，根據(jù)其邊長比可求出x的值，從而求出半圓的面積，得出結(jié)論．

解答：解：（1）由勾股定理得BC=

AB2-AC2

=

1002-802

=60（米），
∴另一條直角邊BC的長為60米．

（2）由已知可得EF為△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×60=30（米），
又FC=

1

2

AC=

1

2

×80=40（米），
∴S_矩形DCFE=EF•FC=30×40=1200（米²）．

（3）如圖，當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時(shí)，半圓O與BD、DE相切，
設(shè)切點(diǎn)分別為G、K，圓心為O，
連接OG、OK，則OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，
又∵∠BDE=90°，
∴四邊形OGDK為正方形．
設(shè)OG=x，
∵BD=BC-CD=60-30=30，
∴BG=BD-GD=30-x．
∵∠OGB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△OBG∽△ABC，
∴

OG

BG

=

AC

BC

．
即

x

30-x

=

80

60

=

4

3

，解得x=

120

7

．
∴當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時(shí)，其半徑為

120

7

米．
∴直角三角形空地ABC的總利用率=[

1

2

π（

120

7

）²+1200]÷（

1

2

×80×60）≈69%．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．
利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．