Question

4．已知：如圖，在△AOB中，OB=OA，∠AOB=90°．在△ACQ中，AC=CQ，∠ACQ=90°，點(diǎn)P為BQ的中點(diǎn)
（1）延長(zhǎng)OP至點(diǎn)M，使PM=OP，連接CM，求證：CM=OC；
（2）判斷△OMC的形狀，寫(xiě)出并說(shuō)明理由；
（3）判斷QM與OA的位置關(guān)系，寫(xiě)出并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明CM=OC，只要證明△AOC≌△QMC即可．
（2）結(jié)論：△OCM是等腰直角三角形，只要證明∠OCM=∠ACQ即可．
（3）結(jié)論：QM⊥OA，利用“8字型”進(jìn)行證明．

解答 （1）證明：在△BOP和△QMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=PM}\\{∠OPB=∠MPQ}\\{BP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△QMP，
∴QM=OB=AO，∠MQP=∠OBP=45°+∠ABQ，
∵∠OAC=∠OAB+∠BAQ+∠QAC=90°+∠BAQ，
∠MQC=360°-∠AQC-∠AQB=∠BQM=360°-45°-（180°-∠QAB-∠ABQ）-（45°+∠ABQ）=90°+∠QAB．
∴∠MQC=∠OAC，
在△AOC和△QMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=QM}\\{∠OAC=∠MQC}\\{AC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△QMC，
∴CM=CO，
（2）結(jié)論：△OCM是等腰直角三角形，理由：
證明：∵△AOC≌△QMC，
∴∠ACO=∠QCM，
∴∠OCM=∠ACQ=90°，
∵OC=CM，
∴△OCM是等腰直角三角形．
（3）結(jié)論：QM⊥OA，理由：
證明：延長(zhǎng)MQ、OA交于點(diǎn)K，OC與KM交于點(diǎn)H，
∵△AOC≌△QMC，
∴∠CMQ=∠COK，
∵∠CMO+∠CHM=90°，∠CHM=∠OHK，
∴∠OHK+∠AOC=90°，
∴∠OKH=90°，
∴QM⊥OA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，正確尋找全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用“8字型”證明直角，屬于中考�？碱}型．