Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．

（1）求證：BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半徑．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)推知∠OED=∠F，則易證得結(jié)論.

（2）由cosB＝，設(shè)BC=3x，AB=5x，根據(jù)OE∥BF，得∠AOE＝∠B，從而．因此列出關(guān)于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值，進而得到⊙O的半徑.

（1）如圖，連接OE,

∵AC與⊙O相切于點E，

∴OE⊥AC，即∠OEC＝900.

∵∠ACB＝900，∴∠OEC＝∠ACB．∴OE∥BC.

∴∠OED＝∠F.

∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE．∴∠F＝∠ODE.

∴BD=BF.

（2）∵cosB＝，∴設(shè)BC=3x，AB=5x.

∵CF=1，∴.

由（1）知，BD=BF，∴．∴.

∴,.

∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴，即，解得，.

∴⊙O的半徑為.

考點：1.切線的性質(zhì)；2.平行的判定和性質(zhì)；3.等腰三角形的判定和性質(zhì)；4.銳角三角函數(shù)定義.