Question

2．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²-3=0．
（1）求使方程有兩實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，且（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）先由（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，得出x₁+x₂=-3或4，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=2（m+1），那么2（m+1）=-3或2（m+1）=4，解方程進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）要使方程有兩實(shí)數(shù)根，則需△=[2（m+1）]²-4（m²-3）≥0，
解不等式得：m≥-2；

（2）因?yàn)椋▁₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，
所以x₁+x₂=-3或4，
又因?yàn)閤₁+x₂=2（m+1），
所以2（m+1）=-3或2（m+1）=4，
解得m=-$\frac{5}{2}$或m=1，
又因?yàn)閙≥-2，所以m=-$\frac{5}{2}$舍去，
所以m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．