【題目】已知AB是⊙O的直徑,點P在弧AB上(不含點A、B),把△AOP沿OP對折,點A的對應點C恰好落在⊙O上.
(1)當P、C都在AB上方時(如圖1),判斷PO與BC的位置關系(只回答結果);
(2)當P在AB上方而C在AB下方時(如圖2),(1)中結論還成立嗎?證明你的結論;
(3)當P、C都在AB上方時(如圖3),過C點作CD⊥直線AP于D,且CD是⊙O的切線,求證:AB=4PD.
【答案】(1)PO∥BC;(2)成立,理由詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)PO與BC的位置關系是平行;
(2)中的結論成立,理由為:由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等,根據全等三角形的對應角相等可得出∠APO=∠CPO,再由OA=OP,利用等邊對等角得到∠A=∠APO,等量代換可得出∠A=∠CPO,又根據同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠PCB,再等量代換可得出∠CPO=∠PCB,利用內錯角相等兩直線平行,可得出PO與BC平行;
(3)由CD為圓O的切線,利用切線的性質得到OC垂直于CD,又AD垂直于CD,利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行,根據兩直線平行內錯角相等得到∠APO=∠COP,再利用折疊的性質得到∠AOP=∠COP,等量代換可得出∠APO=∠AOP,再由OA=OP,利用等邊對等角可得出一對角相等,等量代換可得出三角形AOP三內角相等,確定出三角形AOP為等邊三角形,根據等邊三角形的內角為60°得到∠AOP為60°,由OP平行于BC,利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°,再由OB=OC,得到三角形OBC為等邊三角形,可得出∠COB為60°,利用平角的定義得到∠POC也為60°,再加上OP=OC,可得出三角形POC為等邊三角形,得到內角∠OCP為60°,可求出∠PCD為30°,在直角三角形PCD中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半,而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半,可得出PD為AB的四分之一,即AB=4PD,得證.
試題解析:(1)PO與BC的位置關系是PO∥BC;
(2)(1)中的結論PO∥BC成立,理由為:由折疊可知:△APO≌△CPO,
∴∠APO=∠CPO,又∵OA=OP,∴∠A=∠APO,∴∠A=∠CPO,
又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角,∴∠A=∠PCB,∴∠CPO=∠PCB,
∴PO∥BC;
(3)∵CD為圓O的切線,∴OC⊥CD,又AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠APO=∠COP,
由折疊可得:∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP,又OA=OP,∴∠A=∠APO,
∴∠A=∠APO=∠AOP,∴△APO為等邊三角形,∴∠AOP=60°,又∵OP∥BC,
∴∠OBC=∠AOP=60°,又OC=OB,∴△BCO為等邊三角形,∴∠COB=60°,
∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°,又OP=OC,
∴△POC也為等邊三角形,
∴∠PCO=60°,PC=OP=OC,
又∵∠OCD=90°,
∴∠PCD=30°,
在Rt△PCD中,PD=PC,
又∵PC=OP=AB,
∴PD=AB,即AB=4PD.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,P為反比例函數(k>0)在第一象限內圖象上的一點,過點P分別作x軸,y軸的垂線交一次函數y=﹣x﹣4的圖象于點A、B.若∠AOB=135°,則k的值是( 。
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△ABC的三個頂點都在格點上,結合所給的平面直角坐標系解答下列問題:
(1)將△ABC向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度,畫出兩次平移后的△A1B1C1;
(2)寫出A1、C1的坐標;
(3)將△A1B1C1繞C1逆時針旋轉90°,畫出旋轉后的△A2B2C1,求線段B1C1旋轉過程中掃過的面積(結果保留π).
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】霧霾已經成為現在生活中不得不面對的重要問題,PM2.5是大氣中直徑小于或等于0.000 002 5米的顆粒物,將0.000 002 5用科學記數法表示為( )
A.2.5×10﹣6
B.0.25×10﹣6
C.2.5×10﹣5
D.0.25×10﹣5
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點P,連接PD,在BA的延長線上取點F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點M在AD上.
(1)求MA,DM的長;
(2)求證:AM2=AD·DM.
(3)根據(2)的結論你能找出圖中的一個黃金分割點嗎?
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,D、T是圓上的兩點,且AT平分∠BAD,過點T作AD的延長線的垂線PQ,垂足為C.
(1)求證:PQ是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為2,若過點O作OE⊥AD,垂足為E,OE=,求弦AD的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=-x+1與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于點A(1,0)和點D(-4,5),并與y軸交于點C,拋物線的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于另一點B.
(1)求該拋物線的函數表達式;
(2)若點E是直線下方拋物線上的一個動點,求出△ACE面積的最大值;
(3)如圖2,若點M是直線x=-1的一點,點N在拋物線上,以點A,D,M,N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形?若能,請直接寫出點M的坐標;若不能,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(14分)如圖,已知拋物線()與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),與y軸交于點C,且OC=OB.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點E的坐標;
(3)點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有一座圓弧形拱橋,橋下水面寬度AB為7.2 m,拱高CD為2.4 m.
(1)求拱橋的半徑;
(2)現有一艘寬3 m,船艙頂部為長方形并高出水面2 m的貨船要經過這里,問此貨船能順利通過拱橋嗎?
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com