Question

【題目】已知，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F

（1）如圖①，求證：AE=AF；

（2）如圖②，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．連接CE′BF′．

①若BF′=6，求CE′的長(zhǎng)；

②若∠EBC=∠BAC=36°，在圖②的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)CE′∥AB時(shí)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①6；②36°或72°．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等∠B=∠C，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，進(jìn)一步得出結(jié)論；

（2）求出AE=AF，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“邊角邊”證明△CAE′和△BAF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（3）把△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AE′與過(guò)點(diǎn)C與AB平行的直線(xiàn)相交于M、N，然后分兩種情況，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可．

試題解析：(1)證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AE=AF.

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′，

在△CAE′和△BAF′中，

，

∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，

∴CE′=BF′=6；

②由(1)可知AE=BC，

所以,在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑(圓弧)與過(guò)點(diǎn)C且與AB平行的直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M、N，如圖，

①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，四邊形ABCM是等腰梯形，

所以,∠BAM=∠ABC=72°，

又∵∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°；

②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，

∵CE′∥AB，

∴∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°72°×2=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，

綜上所述,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為36°或72°.