Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過圓心O作OG∥BD,交過點A所作⊙O的切線于點G，連結GD并延長與AB的延長線交于點E．

（1）求證：GD是⊙O的切線；

（2）試判斷△DEF的形狀，并說明理由；

（3）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

（1）證明：連結OD，如圖，

∵AG是過點A的切線，AB是⊙O的直徑，

∴AG⊥AB，  ∴∠GAB=90°．

∵OG∥BD，

∴∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．

∵OC=OB，  ∴∠OBD=∠ODB．

∴∠AOG=∠DOG．

在△AOG和△DOG中，

∴△AOG≌△DOG，

∴∠ODG=∠GAB=90°，  即OD⊥DE

∵OD是⊙O的半徑，

∴GD是⊙O的切線；                                  

（2）解：△DEF是等腰三角形.理由如下：

由（1）知，OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠ODC+∠EDF=90°，

∵OC=OD， ∴∠C=∠ODC，

∴∠EDF+∠C=90°，

而OC⊥OB，  ∴∠C+∠OFC=90°， ∴∠OFC=∠EDF，

∵∠DFE=∠OFC， ∴∠EDF=∠DFE，

∴DE=EF,   ∴△DEF是等腰三角形.                       ……7分

（3）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3， ∴OF=1，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD²+DE²=OE²，  ∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，

∵DE=EF,  ∴DE=4，OE=5，

∵AG為⊙O的切線，  ∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°， 而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，  ∴ = ，即 = ，

∴AG=6．                                                ……11分