Question

如圖，正方形ＡＢＣＤ的邊長是４，∠ＤＡＣ的平分線交ＤＣ于點Ｅ，點Ｐ、Ｑ分別是邊ＡＤ和ＡＥ上的動點（兩動點都不與端點重合）．
（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；
（２）說出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值時，點Ｐ、點Ｑ的位置，并在圖８中畫出；
（３）請對（２）中你所給的結論進行證明．

Answer 1

（１）　（２）過點Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點Ｐ（３）證明見解析

解：（１）　；…………………………………………………………２分
（２）如圖４，過點Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足為Ｆ，………………………３分
ＤＦ與ＡＥ的交點即為點Ｑ；………………………………………………４分
過點Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點Ｐ；……………………………………５分
（３）由（２）知，ＤＦ為等腰Ｒt△ＡＤＣ底邊上的高，
∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分
∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ為ＡＥ上的點，
且ＱＦ⊥ＡＣ于點Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于點Ｐ，
∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分線性質定理），……………………………………７分
∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．
下面證明此時的ＰＱ＋ＤＱ為最小值：
在ＡＥ上取異于Ｑ的另一點Ｑ_１（圖5）．…………………………………９分
①過Ｑ_１點作Ｑ_１Ｆ_１⊥ＡＣ于點Ｆ_１，………………………………………１０分
過Ｑ_１點作Ｑ_１Ｐ_１⊥ＡＤ于點Ｐ_１，…………………………………………１１分
則Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＝Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１，
由“一點到一條直線的距離”，可知，垂線段最短，
∴得Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＦＱ＋ＤＱ，
即Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分
②若Ｐ_２是ＡＤ上異于Ｐ_１的任一點，………………………………………１３分
可知斜線段Ｐ_２Ｑ_１＞垂線段Ｐ_１Ｑ_１，………………………………………１４分
∴Ｐ_２Ｑ_１＋ＤＱ_１＞Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．
從而可得此處ＰＱ＋ＤＱ的值最小．
此題考核正方形的性質，利用垂線段最短求證最小值