Question

已知如圖，拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；
（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MA-MC|最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長(zhǎng)度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
（3）①∠APD是直角邊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，②求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD是直角，分別寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CB與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，|MA-MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（1，0），
∴

9+3b+c=0 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)C（0，3），
則直線AC的解析式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)P（x，x²-4x+3），
∵PD∥y軸，
∴點(diǎn)D（x，-x+3），
∴PD=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度有最大值

9

4

；

（3）①∠APD是直角邊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
此時(shí)，點(diǎn)P（1，0），
②∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∵A（3，0），
∴點(diǎn)P為在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，∠PAD=45°+45°=90°，
此時(shí)，點(diǎn)P（2，1），
綜上所述，點(diǎn)P（3，0）或（2，1）時(shí)，△APD能構(gòu)成直角三角形；

（4）由拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三邊關(guān)系，|MA-MB|＜BC，
∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA-MB|最大，為BC的長(zhǎng)度，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 b=3

，
解得

k=-3 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-3x+3，
∵拋物線y=x²-4x+3的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=-3×2+3=-3，
∴點(diǎn)M（2，-3），
即，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（2，-3），使|MA-MC|最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，（2）整理出PD的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，（3）關(guān)鍵在于利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征作出判斷，（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．