Question

如圖所示，已知拋物線的對稱軸為直線x=4，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A、C坐標為（2，0）、（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線上有一點P，使以PC為直徑的圓過B點，求P的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，x軸上是否存在點E，使得△COE與△PBC相似？若存在，求出E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）以PC為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得PB⊥BC，然后求出點B的坐標為（6，0），過點P作PE⊥x軸，則△PBE與△BCO相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出PE與BE的關(guān)系，然后設(shè)出點P的坐標為（m，n），利用邊的關(guān)系整理，然后再代入拋物線解析式求解即可得到點P的坐標；
（3）先利用勾股定理求出PB、CB的長度，再根據(jù)對應(yīng)邊不同分兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列比例式計算．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-4）²+b，
根據(jù)題意得：

4a+b=0 16a+b=3

，
解得：

a= 1 4 b=-1

，
則函數(shù)的解析式是：y=

1

4

x²-2x+3；

（2）設(shè)點B坐標為B（a，0），則

2+a

2

=4（拋物線對稱軸的表示），
解得a=6，
∴點B（6，0），
又∵點C坐標為C（0，3），PC為直徑的圓過B點，
∴過P作PE⊥x軸，則△PBE∽△BCO，

∴

PE

BE

=

OB

OC

=

6

3

=2，
∴設(shè)點P的坐標為（m，n），
則n=2（m-6）①，
又點P在拋物線上，
∴n=

1

4

m²-2m+3②，
①②聯(lián)立解得m₁=10，m₂=6（舍去），
∴n=2（10-6）=8，
∴點P的坐標為P（10，8）；

（3）∵PE⊥x軸，
∴在Rt△PBE中，PB

(10-6)2+ 82

=4

5

，
在Rt△OBC中，BC=

32+62

=3

5

，
設(shè)點E坐標為（x，0），
∵△COE與△PBC相似，
∴①若CO與PB是對應(yīng)邊，則

3

4 5

=

|x|

3 5

，
解得|x|=

9

4

，
∴x=±

9

4

，
②若CO與BC是對應(yīng)邊，則

3

3 5

=

|x|

4 5

，
解得|x|=4，
∴x=±4，
∴在x軸上存在點E，使得△COE與△PBC相似，點E坐標為E（±

9

4

，0），E（±4，0）．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圓的直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點的求法，以及相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）中注意要根據(jù)對應(yīng)邊的不同進行分情況討論，避免漏解．