Question

（12分）數(shù)學(xué)課上林老師出示了問題：如圖，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，點E是邊BC的中點，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．

同學(xué)們作了一步又一步的研究：

（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種解題思路：如圖1，取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小穎提出一個新的想法：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（3）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

見解析．

【解析】

試題分析：

試題解析：（1）正確．

∵M(jìn)是AB的中點，E是BC的中點 AB=BC

∴AM=EC BM=BE ∴∠BME=45° ∠AME=135°

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（2）正確．

證明：在AB上取一點M，使AM=BC，連接ME．

∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（3）正確．

證明：在BA的延長線上取一點N．使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°

∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF

考點：三角形全等的證明與性質(zhì)．

考點分析： 考點1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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