Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：∠BCP=∠BAN；
（2）若BP=3，MN=2，CB=6，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）由直徑所對的圓周角為90°得出∠ANC=90°，由相切得出∠ACP=90°，拆分∠ACP并結(jié)合三角形一個外角等于兩不相鄰的內(nèi)角和得出結(jié)論；
（2）設(shè)AB=a，作△BPC底邊PC上的高BD，用三角函數(shù)表示出BD的長，可用a表示出∠BPC的正弦值，在Rt△ACP中用a表示出∠APC的正弦，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程可得出AB的長度，再由△BMC∽△CNA可得出BM的長，最后由線段間的關(guān)系A(chǔ)B=AM+BM得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵PC與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠ACP=90°，∠BCP=∠ACP-∠ACB=90°-∠ACB．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ANC=90°．
∵∠ANC=∠ABC+∠BAN（外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和），
∴∠BAN=∠ANC-∠ABC=90°-∠ABC，
∴∠BCP=∠BAN．
（2）解：過B作BD⊥PC于點(diǎn)D，連接CM，如題所示．

設(shè)AB=a，則AC=a，AP=AB+BP=a+3．
∵BD=BP•sin∠BPC=BC•sin∠BCP，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{sin∠BCP}{sin∠BPC}$．
在Rt△ANC中，sin∠BAN=$\frac{BN}{AB}$，
∵AB=AC，且AN⊥BC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴sin∠BAN=$\frac{3}{a}$．
∵∠BCP=∠BAN，
∴sin∠BCP=$\frac{3}{a}$．
∵$\frac{BP}{BC}$=$\frac{sin∠BCP}{sin∠BPC}$，
∴sin∠BPC=$\frac{6}{a}$．
∵∠ACP=90°，
∴sin∠APC=$\frac{AC}{AP}$=$\frac{a}{a+3}$=sin∠BPC=$\frac{6}{a}$，
即有a²-6a-18=0，解得：a=3+3$\sqrt{3}$，或a=3-3$\sqrt{3}$（舍去）．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AMC=90°，
∴∠BMC=90°=∠CNA．
又∵∠MBC=∠NCA，
∴△BMC∽△CNA，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BC}{CA}$，
∴BM=$\frac{BC•CN}{CA}$=$\frac{6×3}{3+3\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$-3，
AM=AB-BM=3+3$\sqrt{3}$-（3$\sqrt{3}$-3）=6．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、角的計算、三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠BCP90°-∠ACB，∠BAN=90°-∠ABC；（2）設(shè)出AB=a，利用三角函數(shù)找出關(guān)于a的一元二次方程．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）難度不小，由于初中階段沒有學(xué)習(xí)正弦定理，只能運(yùn)用證正弦定理的方法找出關(guān)于a的一元二次方程，找出a后再由相似三角形找出BM的長，從而得出AM的長．解決該類題型的方法是，找到跟所求線段有關(guān)的三角形，由相似或者三角函數(shù)值找到比例關(guān)系即可．