Question

操作：如圖①，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，請利用圖①畫出一對以點(diǎn)O為對稱中心的全等三角形。

根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動：（本題12分）
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的長度。

Answer 1

解：（1）如圖

（2）結(jié)論：AB=AF+CF．
證明：分別延長AE、DF交于點(diǎn)M．

∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE與△MCE中，

∴△ABE≌△MCE，
∴AB=MC，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
又∵M(jìn)C=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（3）分別延長DE、CF交于點(diǎn)G．

∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，

∵AB=5，
∴GC=10，
∵FC=1，
∴GF=9，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴GF=DF，
∴DF=9．

解析