Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，并且AD是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，AB和DC的延長線交⊙O外一點(diǎn)E．求證：BC=EC．

Answer 1

證明：連接AC．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°=∠ACE．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D．
∵C是弧BD的中點(diǎn)，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，
∴∠E=∠D，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC．
分析：連接AC，先根據(jù)直徑所對(duì)的角是直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠E=∠D，∠EBC=∠E，從而根據(jù)等角對(duì)等邊可證BC=EC．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓、等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠EBC=∠E是解題的關(guān)鍵．