Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) （不與A、C重合），DE⊥直線AB于E點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥直線AB于H點(diǎn)，連接EF，設(shè)AD=x．
（1）①若點(diǎn)D在AC邊上，求FH的長(zhǎng)（用含x的式子表示）；
②若點(diǎn)D在射線CA上，△BEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（2）若點(diǎn)D在AC邊上，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DP與EF相交于O點(diǎn)，當(dāng)DP+FP的值最小時(shí)，猜想DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，依題意可證△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，由中位線定理求FH；
②當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)（如圖1），直接利用三角形面積公式，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，
當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）猜想：DO=3PO．作點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時(shí)DP+FP的值最小．
連接EF′，可判斷四邊形DEF′F為平行四邊形，DO=OF′，由DE=2HF′，DE∥HF′，可得DP=2PF′，即DO+OP=2（DO-OP），解得DO=3PO．
解答：解：（1）①
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴，
方法一：，
∵∠AED=90°，∴，
∵∠DEB=90°，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，
∴EF=BF，
∵FH⊥AB，
∴EH=BH
∴；

方法二：∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵∠DEB=90°，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴，
②∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
有兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，如圖1：
∵，
∴，
∴，（0＜x＜8），
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2：
同理得：，
∵，
∴，
∴，（x＞0），
（2）猜想：DO=3PO，
證明：作點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時(shí)DP+FP的值最小時(shí)．連接EF′．
∵，F(xiàn)H=F′H，
∴FF′=DE又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
方法一：如圖3，在△DPE與△F′PH中，
∵∠DEP=∠F′HP=90°∠DPE=∠F′PH，
∴△DPE∽△F′PH，
∴，∴DP=2PF′，
∴DO+PO=2（DO-PO）化簡(jiǎn)得：DO=3PO，
方法二：連接OH如圖4：
∵OE=OF，F(xiàn)H=F′H，
∴OH∥EF，且OH=EF，
∴△OPH∽△F′PE，
∴，∴DO=OF′=3PO，
方法三：取PB的中點(diǎn)M，連接FM如圖5：
∵FH=F′H，，
∴FF′=DE，又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
∴OE=OF，
∵DF=BF，PM=BM，
∴FM∥DP，∴，，
∴DP=4PO，
∴DO=3PO．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用三角形相似求邊長(zhǎng)，根據(jù)D點(diǎn)的位置分類(lèi)求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)圖，求當(dāng)DP+FP的值最小時(shí)的圖形，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似求DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系．