Question

（2012•自貢）如圖，拋物線l交x軸于點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，-3）．將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A₁及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說出理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l₁于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先求出翻折變換后點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線l₁的解析式；
（2）如圖2所示，連接B₁C并延長，與對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系（三角形兩邊之差小于第三邊）可以證明此結(jié)論．為求點(diǎn)P的坐標(biāo)，首先需要求出直線B₁C的解析式；
（3）如圖3所示，所求的圓有兩個(gè)，注意不要遺漏．解題要點(diǎn)是利用圓的半徑表示點(diǎn)F（或點(diǎn)E）的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式，解一元二次方程求出此圓的半徑．

解答：解：（1）如圖1所示，設(shè)經(jīng)翻折后，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A₁、B₁，
依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A₁（3，0），B₁（-1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)不變，
因此，拋物線l₁經(jīng)過A₁（3，0），B₁（-1，0），C（0，-3）三點(diǎn)，
設(shè)拋物線l₁的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故拋物線l₁的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）拋物線l₁的對(duì)稱軸為：x=-

b

2a

=1，
如圖2所示，連接B₁C并延長，與對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
此時(shí)，|PA₁-PC|=|PB₁-PC|=B₁C．
設(shè)P′為對(duì)稱軸x=1上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，則有：
|P′A₁-P′C|=|P′B₁-P′C|＜B₁C（三角形兩邊之差小于第三邊），
故|P′B₁-P′C|＜|PA₁-PC|，即|PA₁-PC|最大．
設(shè)直線B₁C的解析式為y=kx+b，則有：

-k+b=0 b=-3

，解得k=b=-3，
故直線B₁C的解析式為：y=-3x-3．
令x=1，得y=-6，
故P（1，-6）．

（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，有兩種情況．
①當(dāng)圓位于x軸上方時(shí)，設(shè)圓心為D，半徑為r，
由拋物線及圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D位于對(duì)稱軸x=1上，
則D（1，r），F(xiàn)（1+r，r）．
∵點(diǎn)F（1+r，r）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴r=（1+r）²-2（1+r）-3，化簡得：r²-r-4=0
解得r₁=

17 +1

2

，r₂=

- 17 +1

2

（舍去），
∴此圓的半徑為

17 +1

2

；
②當(dāng)圓位于x軸下方時(shí)，同理可求得圓的半徑為

17 -1

2

．
綜上所述，此圓的半徑為

17 +1

2

或

17 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查內(nèi)容包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、翻折變換、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、圓的相關(guān)性質(zhì)等，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（2）問中，注意是“兩線段之差最大”而不是“兩線段之和最大”，后者比較常見，學(xué)生們已經(jīng)有大量的訓(xùn)練基礎(chǔ)，而前者接觸較少，但二者道理相通；第（3）問中，首先注意圓有2個(gè)，不要丟解，其次注意利用圓的半徑表示點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用方程的思想求出圓的半徑．