Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，點A的坐標是（1，0），點B、C在y軸上，在x軸上是否存在點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，請寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：在x軸上是否存在點P（-1，0），使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：
∵AB=AC=2，AO⊥BC，∠BAC=120°，
∴OB=OC，∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°，
∴取A（1，0）關于y軸的對稱點P（-1，0），則PB=AB，PC=AC，∠BPA=∠BAP=60°，
∴PB=AB=PC=AC，
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
分析：先由等腰三角形三線合一的性質得出OB=OC，∠OAB=∠OAC=60°，再取A（1，0）關于y軸的對稱點P（-1，0），根據(jù)軸對稱的性質得到PB=AB，PC=AC，∠BPA=∠BAP=60°，所以PB=AB=PC=AC，從而根據(jù)等腰三角形的定義得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，難度適中，由等腰三角形三線合一的性質得出OB=OC，∠OAB=∠OAC=60°是解題的關鍵．