Question

18．如圖，⊙O的半徑為1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=2，BD=3，P為半圓上一點(diǎn)，則△PCD面積的最小值是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• D． $\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由CD是固定的，所以當(dāng)P到CD的距離最小時(shí)△PCD的面積最小，過(guò)P作EF∥CD，交AC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，當(dāng)EF與⊙O相切時(shí)，P到CD的距離最短，連接OP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q，過(guò)O作OH∥BD，交EF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，則可知OH為梯形ABCD的中位線(xiàn)，OG為梯形ABFE的中位線(xiàn)，可求得OH，過(guò)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，可求得CD=EF=$\sqrt{5}$，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知AE=EP，BF=PF，可得AE+BF=EF=$\sqrt{5}$，可求得OG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可求得GH的長(zhǎng)度，又因?yàn)镺P=1，可求得PQ的長(zhǎng)度，可求得△PCD的面積，可得出答案．

解答 解：∵CD是定值，所以當(dāng)P到CD的距離最小時(shí)△PCD的面積最小，
過(guò)P作EF∥CD，交AC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，
當(dāng)EF與⊙O相切時(shí)，P到CD的距離最短，連接OP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q，
過(guò)O作OH∥BD，交EF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，
則可知OH為梯形ABDC的中位線(xiàn)，OG為梯形ABFE的中位線(xiàn)，
∴OH=$\frac{1}{2}$（AC+BD）=2.5，
過(guò)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，則CM=AB=2，MD=BD-AC=1，
∴CD=EF=$\sqrt{5}$，
由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知AE=EP，BF=PF，
∴AE+BF=EF=$\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴GH=OH-OG=2.5-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
又∵OP=1，且$\frac{OP}{PQ}$=$\frac{OG}{GH}$，
∴$\frac{1}{PQ}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$，
∴PQ=$\sqrt{5}$-1，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PQ•CD=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}-1$）×$\sqrt{5}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例、梯形的中位線(xiàn)等知識(shí)，確定出△PCD面積最小時(shí)的點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．在求PQ的長(zhǎng)時(shí)注意梯形中位線(xiàn)及線(xiàn)段成比例的應(yīng)用．