Question

我市新農(nóng)村建設中，對鄉(xiāng)村道路進行改造，車溪鄉(xiāng)公路有一段斜坡長為20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB與坡頂路面CD平行，如圖①．
（1）求坡高CM（結(jié)果保留根號）；
（2）為方便通行，現(xiàn)準備把坡角降為30°，為節(jié)約成本，計劃把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如圖②，點O為原斜坡BC的中點，EF為新斜坡，求原坡頂需要挖掉的長度（即CF的長度，結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：（

2

≈1.414，

3

≈1.732，

6

≈2.499；可以用科學記算器）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理就可以直接求出CM即可；
（2）作FN⊥EM于點N，根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出FN的值，由勾股定理就可以求出EN的值，從而求出EB的值，再由△EBO≌△FCO就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵CM⊥BM，
∴∠CMB=90°．
∵∠CBM=45°，
∴∠BCM=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=CM．
在Rt△BMC中，由勾股定理，得
BC²=CM²+BM²，
∴400=2CM²，
∴CM=10

2

．
答：CM=10

2

；

（2）作FN⊥EM于點N，
∴∠FNB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FCO，∠BEO=∠CFO，∠FCM=∠BMC=90°，
∴四邊形CMNF為矩形，
∴CM=FN=10

2

，
∵∠FEN=30°，
∴EF=2FN=20

2

．
在Rt△EFN中，由勾股定理，得
EN=10

6

．
∴EB=10

6

-10

2

∵點O為BC的中點，
∴BO=CO．
在△EBO和△FCO中

∠EBO=∠FCO ∠BEO=∠CFO BO=CO

，
∴△EBO≌△FCO（AAS），
∴BE=CF，
∴CF=10×2.499-10×1.414≈10.9米．
答：原坡頂需要挖掉的長度CF為10.9米．

點評：本題考查了勾股定理的運用，等腰直角三角形的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，矩形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用勾股定理求解是關(guān)鍵．