Question

10．如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．
分析：根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連結PP′，這時再分別求出∠BP′P和∠AP′P的度數(shù)．
解答：（1）請你根據(jù)以上分析再通過計算求出圖2中∠BPC的度數(shù)；
      （2）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=2$\sqrt{13}$，PB=4，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉的性質得到∠P′BP=90°，BP′=BP=$\sqrt{2}$，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得PP′=$\sqrt{2}$PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
（2）把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，根據(jù)旋轉的性質得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到BH=$\frac{1}{2}$BP′=2，P′H=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，得到P′P=2P′H=4$\sqrt{3}$，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°，問題得解．

解答 解：（1）如圖2．
∵△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=90°，BP′=BP=$\sqrt{2}$，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP=$\sqrt{5}$，PP′=2，AP′=1，
∵（$\sqrt{5}$）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如圖3．
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
過B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=$\frac{1}{2}$BP′=2，P′H=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∴P′P=2P′H=4$\sqrt{3}$，
在△APP′中，AP=2$\sqrt{13}$，PP′=4$\sqrt{3}$，AP′=2，
∵（2$\sqrt{13}$）²=（4$\sqrt{3}$）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關系．