Question

如圖，直線AB經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，AB=4，半徑OC的延長線與過點B的直線交于點D，OC=CD，BC=OD．點Q為⊙O上一動點．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的長．
（2）在點Q運動的過程中，CQ的與直線AB相交于點P，問PO為何值時，△BCQ是等腰三角形；
（3）當Q點運動時，是否存在點P，使得QP=QO？若存在，滿足條件的點有幾個？并求出相應的∠BCP；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，過B作BH⊥CQ，Q為垂足，
∵OC=CD，BC=OD．
∴△OCB為等邊三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×=，
在Rt△BQH中，HQ=BH=，
∴；

（2）當BC為腰時，如圖，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P點在點O右邊）；
當BC為底時（如圖），
過Q作BC的垂線必過圓心O，過C作CM⊥OB，M為垂足，
∵∠CQB=∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM為等腰直角三角形，
∴；

（3）當P在OB之間時，∠BCP=40°；
當P在O點左邊時（如圖），∠BCP=100度．
當P點在B點右側，如圖，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．


分析：（1）過B作BH⊥CQ，Q為垂足，由OC=CD，BC=OD，得到△OCB為等邊三角形，BC=2，則∠CQP=30°，分別在Rt△BCH，Rt△BQH中
計算出CH=BH=2×=，HQ=BH=即可．
（2）分類討論：當BC為腰時，OB垂直平分CQ，得到PO=1；當BC為底時，過Q作BC的垂線必過圓心O，過C作CM⊥OB，M為垂足，
證△CPM為等腰直角三角形，然后；
（3）分類討論：當P在OB之間時，∠BCP=40°；當P在O點左邊時（如圖），∠BCP=100度．當P點在B點右側，如圖，∠BCP=20°．
點評：本題考查了圓周角定理；也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形三邊關系以及分類討論思想的運用．