Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB上的高，AF為∠BAC的角平分線，AF交CD于點E，交BC于點F．
（1）如圖1，①∠ACD______∠B（選填“＜，=，＞”中的一個）②如圖1，求證：CE=CF；
（2）如圖1，作EG∥AB交BC于點G，若AD=a，△EFG為等腰三角形，求AC（含a的代數(shù)式表示）；
（3）如圖2，過BC上一點M，作MN⊥AB于點N，使得MN=ED，探索BM與CF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

（1）解：①∠ACD=∠B，
理由是：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠B，
故答案為：=．

②證明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF，
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，
∵∠B=∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF．

（2）解：∵△EFG是等腰三角形，
∴∠FEG=∠FGE，
∵EG∥AB，
∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B，
∵∠B=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAF=∠BAF，
∵∠CDA=90°，
∴3∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD=2a．


（3）解：BM=CF，
理由是：過E作EH⊥AC于H，
∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EH=ED=MN，
∵EH⊥AC，MN⊥AB，
∴∠CHE=∠BNM=90°，
在△CHE和△BNM中

∴△CHE≌△BNM（AAS），
∴BM=CE，
∵CE=CF，
∴BM=CF．
分析：（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，推出即可；②根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CFE=∠CEF，根據(jù)等腰三角形判定推出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠ACD=∠CAF=∠BAF，得出3∠ACD=90°，求出∠ACD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可；
（3）過E作EH⊥AC于H，求出EH=DE=MN，證△CHE≌△BNM，推出BM=CE即可．
點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．